一道简单的数学概率证明题

首先，每个号被选中的概率并不是绝对相等的。我写了个程序，跑出来的结果表明，在一个非闰年里，
采用+5的方法，车号从0到9被选中的天数分别为：
71、79、72、72、71、71、79、72、72、71
采用+3的方法，车号从0到9被选中的天数分别为：
71、79、71、71、79、72、72、72、72、71
+5或者+3对于概率并没有显著影响，但从这里可以得到一些有趣的结论。

猜测以上两者是同一组数的不同置换，下面我们证明这个猜想：

我们先考虑车号与日期不同的情况：

构建一个映射f，把一个日期（mm/dd）映射到个位整数(dd+k)  mod 10 (dd表示二位数的日期，比如02，10，31）
构建另一个映射g，g(mm/dd)=(dd+j) mod 10

j,k是互不相等且小于10的正整数,表示 k, j的方案

观察两个映射，我们发现，对于同一个日期(mm/did)
f(mm/dd)=[g(mm/dd)+k-j] mod 10

再构建一个函数h(n)=(n+k-j) mod 10，显然这是个置换

于是，f(mm/dd)=h[g(mm/dd)]

f,g的定义域相同，h是个置换，所以把g的值域用h置换后，f,g映射的图像是相同的。也就是说，g值域上任意一个数n，它所对应的日期，在f映射下都回到h(n)。换句话说，g值域上n对应的日期数，与f值域上h(n)对应的日期数是一样的。+k和+j把同样一组天数用不同的排列方式分给各个车号。

再考虑k=0，即车号与日期相同，这其实也是对其他映射的一个置换，且任何一个方案，都包含了这个置换。所以任意一个k不等于0的方案，其实就是0和k两个映射的叠加。每个车号对应的天数，其实是两个置换在同一个车号对应的天数相加。

构建一个置换排列的加法，对两个置换排列在同位置上的数相加得到一组新的数。 比如(123)+(231)=(354)。很显然只有在极凑巧的情况下，两个置换相加会构成一个新的置换

容易验证，k=1的时候 这不是k=3时的置换，所以车号对应的天数并不是置换。。。

所以我证了半天发现自己的猜测是错误的lol
 
算了，还是证明不管怎么加，被选中的概率都差不多。
 
假设只允许车号与日期相同时出行（k＝0）， 0到9号每年可通行天数为 x0，……，x9， 它们大致相等
（不相等的话证个毛线？）
已经证明的是， ＋k方案给每个车号额外增加的天数是x0到x9的一个置换
那对于任意车号，它的通行天数可以表示为 xj＋xk，j,k不相等。 由于xj,xk,x0大致相等， 认为它们的和是2x0
 
所有车号的可通行天数都约等于2x0，所以不管＋多少， 各个车号可出行的概率都大致相等
 
下面提供一段代码验证：
 
int main()
{
    int bias=3;  //这里bias＝3 说明是＋3的方案，更改这个数值可以得到不同方案的结果
    int days_in_months[12]={31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};     //一年中每个月的天数
    int num_count[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};                          //一年中不同车号可通行的天数
    for (int month=0;month<12; month++)                               //每个月都循环一次
    {
        int days = days_in_months[month];                             //这个月的天数
        for (int date=1; date<=days; date++)                          //这个月每天都循环一次
        {      // 回答里似乎无法显示百分号，下面两行代码里的&其实应该改成百分号^_^
                num_count[date&10]++;                        //该日期对应的车号，可通行天数＋1
                num_count[(date+bias)&10]++;                 //该日期＋bias对应的车号，可通行天数＋1
        }
    }
    for (int i=0; i<10; i++)
    {   // num表示车号， count表示一年里可通行的天数
        cout << "number: " << i << " count: " << num_count << endl; 
    }
}
 
用C++运行以上代码,就发现不管bias怎么变，一年中差不多都只有1/5的天数可以出行 这也算个证明吧