私人拥有的树木产生的树荫的遮凉功能可以出售吗？

可以的。
物品具备经济学意义上的排他性的，就可以出售。
排他性是指可以把某些人排除在外，无法使用这个物品。
 
实践中绝大部分私人物品都是具备排他性的，比如我的手机，我自己买来装在自己包里，如果我不同意，别人想要拿走用几乎是不可能的。再比如我在家煮一碗面，如果我不让给别人吃，别人是吃不到的。
有排他性的东西很容易售卖。
 
有的东西是不具备排他性的，就是无法排斥某些人的使用。
最简单的例子是国防服务。中国的军队保卫国防，只要你是个中国人在中国境内，你就自然的享受了国防服务。国防服务不可能指定保卫13亿9999万人，不保卫剩下的1万个名叫张三的人，这是做不到的。一旦提供国防服务，那几乎必然是全体国民共同享受的。
再比如说，北京市的空气雾霾控制服务。如果北京市的空气质量好转，全体北京居民都必然受益，不可能拒绝在西直门某个倒卖服装的没有北京户口商贩呼吸高质量的清洁空气，这也是做不到的。
如果不具备排他性，就不可能单独售卖了。因为人家买不买都能够享受这些服务，当然不会出钱买了。
这也是为什么公共服务必须强制收税的原因，不能单独卖，就只能统一收税来支撑。
 
最后，排他性并不是特别严格，在有无之间是可以转换的。
或者更准确地说，实现排他性是需要成本的。拒绝别人喝一瓶水的排他成本很低，拒绝居民从河里湖里抽水的排他成本比较高，拒绝国民从海里取水的成本就高到不可估量了。成本高到不现实的时候，就说这个东西不具备（现实的）排他性。
比如在低成本的栅栏没有出现之前，草原上的牧草是不具备排他性的。但是低成本栅栏出现之后，只要圈一块地不让外部的牧畜进入，牧草的排他性就实现了。在这种情况下，牧草或者说草原的土地，就可以售卖了。这是比较典型的随着技术进步将公共物品私有化的过程。
 
树荫的情况很类似。
通常情况下人们不认为树荫是私人物品，但是如果必要，树荫完全可以实现排他，简单的说就是可以轻松实现不让你用。
只要实现排他，树荫就可以售卖了。没有买的时候，树荫服务对你是排他的，买下来了这个服务你就可以用了，其实挺简单。
如果在一些法制不那么明确的环境中生活过，应该能感受到，有的时候名义上是你的，实际上未必是你的。比如你要开着货车从某村的路口通过，人家要收通行费你也只能给。某些村口的道路名义上是公共道路，但实际上很容易排他，村民往路口一堵就做到了，于是你就得花钱通行。大致这个意思。
 
当然这个事情还可以从法律或者道德或者其他任何方面来解读。但是从经济学的视角，道德和法律只是人类划分产权的工具，所以经济学会认为从产权排他性的角度解读更加本质一些。
对普通人来说，产权经济学是个非常开脑洞也挺有趣的学科。

从经济学角度看，可以。
 
首先看经济学对于商品的定义

商品（英语：Good），或物品、货物，是一种用于满足购买者欲望和需求的产品，同时提供效用。

 
那么，此处树荫的遮凉功能，可以被视作一种服务，作为无形商品出售。而遮凉功能，显然满足了需求（避暑），同时也提供了效用（避暑的愉悦感）。因此，可以出售。
 
实际生活中，树荫更多的作为树木的外部性而看待的。因为法律上出售的标的，是需要实现产权、所有权转移的。此处由于答主没有研究过法理，以下内容不保证正确性。
 
根据树荫的特性，可以看出其很难实现一种所有权转移。毕竟极端情况下，树木被砍伐之后，已经没有树荫可以交付，此时对树木的所有权则妨碍了树荫拥有方对树荫所有权行驶，按理树荫拥有方可以拥有排除妨碍请求权。但是排除妨碍请求权的实施，又会影响树木所有方行使所有权（即全面支配权）。此处矛盾，因此猜测树荫不具有所有权。因此，将树荫看作外部性而不是商品。
 
那么，树荫还能出售吗？
 
能。
 
此处的出售可能有别于常见的出售。常见的出售，是买卖双方通过市场完成交易。但是外部性是通过市场以外的方式产生影响，因此无法通过市场完成交易。但是，此处由于树荫具有正外部性，个体决策成本高于社会成本，导致均衡树木量小于社会最佳树木量。因此，政府可以采用补助的方式，使树木均衡量达到社会最佳树木量。此时，树荫这种外部性通过补助的方式内部化。某种意义上说，政府出钱“买”下了树荫，然后将它作为公共物品供给给所有人。
 
抛砖引玉，期待看到法律界大神对此的深入探讨。